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K枚のMirror-Mad Phantasmが入ったL枚のライブラリを上から一枚ずつめくったときにN番目にめくれる確率を公式化しようとしたら夜が明けていた

2011年9月9日 MTG コメント (7)
眠気で頭働きませぬ・・・

誰か代わりに解いてくれないかな。
ついでに墓地に落とせるカード枚数の期待値も頼む。

コメント

ひまじん
ひまじん
2011年9月9日10:36

N-1番目までにめくれることなくN番目にめくれる確率は

K(L-K)!(L-N)!/L!(L-K-N+1)!

ですよ。「!」は階乗記号です。

dioxide@イゼット団
dioxide@イゼット団
2011年9月9日10:52

>ひまじんさん
お早い回答ありがとうございます！
自分も同じ結論にたどり着いたんですけど、それだとライブラリ5枚、スピリット4枚のとき2回目にめくれる確率（L=5、K=4、N=2のとき）が0になってしまいませんか？
大分極端な例ですが…ｗ

nophoto
やっつけ
2011年9月9日11:23

まず N

nophoto
やっつけ
2011年9月9日11:31

すみません、うまく投稿できなかったので(半角スペースのせい？)再度書き込ませていただきます。

まずN

nophoto
やっつけ
2011年9月9日11:34

本当にすみません、うまく投稿できなかったので(「＜」のせいか？)三たび書き込ませていただきます。

まずN＜＝L-K+1という上限を設けます。ここを超えると確率0です。
確率はpermu(L-K,N-1)*K*(L-N)!/L!です。
ここにpermu(m,n)は順列m_P_n,またx!はxの階乗を表します。

期待値は以下の通りです(Eが期待値、すなわち墓地に落ちる枚数です)。

L=45
K|　E
-+-----
1|22.0
2|14.3
3|10.5
4|08.2

大体L/(K+1)枚が墓地に落ちると言えます。
直感的には納得の行く結果だと思います。

ひまじん
ひまじん
2011年9月9日12:34

＞oxideさん
いえいえー、その値を代入してもちゃんと1/5になりますよ～。私が寝ぼけてたかもしれないと思ってちょっと焦りましたがｗ

もしかして0!=0と勘違いなさってませんか？
n!=n×(n-1)!にn=1を代入したり計算機使ってΓ関数（積分を使って階乗を複素平面上に定義拡張した関数です）に1を代入して実際に積分してみればわかりますように、0!=1ですよ。間違いやすいポイントなので是非お確かめください～。

ちなみに計算機的な問題としては(-1)!などは発散してしまうので、そのような項が出てくる場合は!で表示せずに順列mPnを用いないといけません。（階乗に負の整数は代入できませんが、順列には任意の実数mと非負整数nが代入できます）ただしそのような場合が出てくるのはK+N-1>Lとなるときなので、この場合は自明に確率が0になるので気にしなくていいですね。

dioxide@イゼット団
dioxide@イゼット団
2011年9月9日20:03

>みなさん
分かりやすい解説ありがとうございます！
自分のミスに関しては、まさしくひまじんさんのおっしゃる通りでした・・・ｗ
お恥ずかしい限り。
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